Из очевидного - гулять: по центру, в парках (например, им. Горького, Измайлово, Сокольники, Царицыно, Коломенское, Врорбьёвы Горы и т.д.), в центре города (внутри Бульварного кольца везде красивенько, по Старому Арбату прогуляйся). Можешь взять с собой фотоаппарат, чтобы внести активный элемент в созерцание природных/архитектурных красот. Кстати, на Тверском бульваре постоянно выставляются разные интересные фотоэкспозиции. Есть места, где народ в выходные собирается потанцевать, поиграть или чем-то таким позаниматься на открытом воздухе (например, на деревянных площадках набережной Москвы реки в районе Андреевского моста со стороны Нескучного сада). Если интересно на такое поглядеть, то можешь сходить. В парках, опять же, есть сцены, на которых тоже проходят какие-то концерты периодически - можно посмотреть расписание на сайтах парков. В Нескучном есть навесы, под которыми деды рубятся в шахматы и шашки - если увлекаешься, можно с кем-то зарубиться даже, наверное. Много где играют уличные музыканты, например у станции метро Третьяковская по вечерам, на ул. Кузнецкий мост. Скорее всего есть и какие-то места под крышей, музеи там или выставки, на которые можно бесплатно прийти, но тут я не мастак. Погугли "бесплатные музеи и выставки в москве" - может, что-то приглянется.
