Сразу следует отметить, что магнитное поле — явление по сути своей релятивистское, поэтому по хардкору сразу требуем от мира лоренц-инвариантности.
Проводник это уже сложно. Лучше начать с точечной заряженной частицы в пустоте. Её действие пропорционально (через массу частицы) интегралу от интервала.
Какое самое простое лоренц-инвариантное взаимодействие можно придумать? Взять 4-вектор тока частицы 0 компонента это плотность заряда и скалярно умножить на какой-то другой 4-вектор, который оказывается 4-потенциалом электро-магнитного поля.
Пусть пока потенциал задан из вне как функция координат в том числе времени, а заряд частицы достаточно мал что значит "мал", как обычно, выясняется задним числом в конкретной задаче. "Действие взаимодействия" — интеграл от упомянутого скалярного произведение по интервалу.
Если рассмотреть следующее из такого действия уравнение движения частицы, то выясняется, что в потенциале содержится некоторый произвол — то, что называется "калибровочная инвариантность", а движение частицы зависит от антисимметричного тензора второго ранга, составленного из производных от потенциала — тензора электромагнитного поля. Калибровочную инвариантность можно было заметить сразу: к потенциалу может быть невозбранно добавлен 4-градиент — полная производная не меняет уравнений движения.
Антисимметричный тензор второго ранга можно составить из вектора, который традиционно называют "электрическое поле", и псевдовектора, который традиционно называют "магнитное поле".
Остаётся вопрос о действии самого электромагнитного поля. Хочется, чтобы оно было калибровочно- и лоренц-инвариантным. Очевидный калибровочно-инвариантный кандидат — тензор электромагнитного поля. Свернув его с самим собой получим лоренц-скаляр, а с абсолютно антисимметричным — псевдоскаляр, который оказывается 4-дивергенцией, а значит не влияет на уравнения движения. Трэйс равен нулю из антисимметричности.
Действие поля определим как интеграл от квадрата тензора электромагнитного поля по всему пространству.
Если рассмотреть следующие из такого действия уравнения движения (без частиц), легко видеть, что они допускают решения типа бегущая волна.
Можно рассматривать много частиц или перейти к сплошной среде и рассматривать проводники и прочее. В весьма ограниченном круге задач построены точные решения.
Электро-магнитное поле по классике устроено как-то так.
"В каждой точке пространства" есть "4 без градиента" физические степени свободы. "Точка пространства" имеет размер "много больше" хотя бы раз в 1000 для верности комптоновской длинны самой лёгкой частицы — электрона но этот вывод, опять же, получается только задним умом.
