Сырне нужно решить вот такую задачку. Все буквы, конечно же, больше нуля, потому что других чисел Сырно не знает.
Как же быть?

Но Сырна не хочет ничего решать, Сырна хочет в это время суток хочет рисовать что очевидно из факта создания этого ИТТ треда
Раз написано "икс квадрат", Сырно рисует квадрат со стороной икс. Слева в задачке есть еще прямоугольник "ax" (Сырно не умеет воспринимать числа абстрактно, в отрыве от длин и площадей), его тоже надо куда-то впендюрить. Сырно решает разрезать его пополан и присобачить с двух сторон к квадрату.

Теперь площадь того, что Сырно нарисовала в точности равна "b"!

Но ведь эту штуку можно ДОПОЛНИТЬ до вполне понятного квадрата, достаточно добавить маленький квадратик со стороной "a/2", и получится большой квадрат со стороной "x+a/2"!

Большой квадрат состоит из той штуки с предыдущей картинки и квадратика со стороной "а/2" - так и запишем!

Ну а тут уже Сырно легко найдет единственное решение задачи. Единственно, потому что неположительных чисел Сырно не знает.

Задача решена, Сырно - гений.

Так как Сырно - гений, то она тут же готова решать следующую задачу. Благо она почти такая же, как предыдущая.

Так как Сырна - не тупая, а очень даже математик, она знает, что задачи нужно сводить к предыдущим. Ну или решать по аналогии. Поэтому Сырна разделила доску на две части и будет проводить аналогию с предыдущей задачей.

Там Сырна достраивала квадратик со стороной х до какого-то большого квадратища, удлиняя стороны первого на какую-то длину v.

Тут Сырна тоже достроит кубик со стороной х до какого-то большого кубища, удлиняя строны первого на какую-то длину v.

Там Сырна делит площадь квадратища на сумму всякой двумерной фигни, на которую он делится.

И тут Сырна расписывает объем кубища на сумму всякой трехмерной фигни, на которую он делится.

Там Сырна сгруппировала фигню так, чтобы она напоминала решаемую задачку.

И тут Сырна сгруппирует фигню так, чтобы она напоминала решаемую задачку.

Там Сырна записывала условия, чтобы v и x давали решаемую задачу.

И тут Сырна записывает условия, чтобы v и х давали решаемую задачу.

Ну вот Сырне и осталось решить простую систему.

Наметанным глазом Сырна видит тут выражения для суммы и произведения двух сущностей, поэтому всячески стремится изобразить все так, чтобы можно было применить теорему Виета. Если бы Сырна не знала теорему Виета, она бы ее быстро вывела. Если бы Сырне было лень ее выводить, она бы долго и нудно подставляла одно в другое.

В итоге сырна выписывает уравнение второй степени, корни у которого - куб "x+v" и куб "-v".

Так как Сырно уже взрослая фея, то квадратное уравнение она беззастенчиво решает, получая два корня. Один, очевидно, положительный, второй, очевидно, отрицательный.

Так как куб "-v" - очевидно отрицательный, а куб "x+v" - очевидно положительный, сразу понятно, кто есть кто.

Тут уже Сырно элегантно находит решение свой задачи.

Обратите внимание, насколько все тут восхитительно положительное, даже х!

Решившей в нескольких картинках кубическое уравнение, на что человечеству потребовалось несколько тысяч лет, Сырне присваивается (очередное) звание гения.

Ход рассуждений предполагает, что полученный результат должен быть подставлен в исходное уравнение, чтобы подтвердить, что это корень, но Сырно себя не на помойке нашла, а поэтому удаляется под гром аплодисментов с чувством выполненного долга.

>>5231755
Самое главное - вовремя смыться.

Теперь, когда альтернативно одаренные ушли, мы можем, наконец, спокойно разобраться с решением в общем виде.

Я ничего не понимаю в математике.

>>5231801
Напиши на доске, что - нибудь смешное.

На самом деле, ничего спокойного не будет. Общий случай разбивается на несколько подслучаев, а они - на другие подслучаи. Но постараемся сделать все красиво.

Начнем с того, что будем решать ту же задачу, что и Сырно, но для случая "a<>0", благо "а=0" тривиален.

Потом, то, что Сырна обозначила как "v", мы обозначим за "t", чтобы оставить красивые переменные на потом.

РЕЙМУ ВПЕРЁД!!!

>>5231803

>>5231803
Достаточно смищно?

>>5231809
Никто из нормальных людей это не поймет.

>>5231805
Теперь нужно проговорить момент, который Сырна объяснила маханием руками в воздухе.

Когда Сырна берет откуда-то формулу для куба суммы, потом его расписывает, потом группирует, потом говорит, а пусть соответствующие множители в нем будут равняться коэффициентам исходного уравнения
>>5231748
Она делает вот что...

Она записывает тождество, верное для любых "x" и "t", получая вот такую систему. Потом она вычитает одно из другого. Пока эквивалентность сохраняется.

Далее ищутся решения "(x, t)", такие, что соответствующие выражения равны нулю одновременно.

Но как эта система соотносится с исходным уравнением?

Понятно, что из системы следует исходное уравнение.

А наоборот? В общем случае, когда мы делаем так, как показано в левом квадратике, конечно же нет. Вот там мы сделали аналогичный ход с уравнением "x*x=x", получив один только корень "х=0" и прошляпив "х=1".

Так что пока у нас любой x из решения (x,t) записанной системы будет решением исходного уравнения, но не показано, что из система нам даст все решения исходного уравнения.

Переписываем систему и делаем косметические замены, в т.ч. констант, чтобы иметь дело, наконец, с красивенькой системкой.

Дальше Сырна радостно бежит возводить первую штуку в куб, чтобы применять своего Виета. Делать этого ни в коем случае нельзя. Точнее, нельзя выкидывать невозведенное в куб условие, потому что от этого система теряет лишние корни и теряется эквивалентность.

А значит, все полученные корни нужно будет подставлять в исходную систему, чтобы проверить, что они действительно корни. А так как корней получится при должном старании 6, а без должного - 9, а также при том, что Сырне было влом подставлять даже один, условие на невозведенную в куб штуку мы оставляем.

Теперь, после того, как мы выразили и подставили, встает новый вопрос: а можно ли из системы теперь выкинуть условие на сумму кубов? Будут ли эквивалентны вторая и третья системы? Точнее, будет ли из третьей следовать вторая?

Вопрос не праздный, так как полученные из бикубического уравнения корни нужно будет отсеивать подставляя их во все соотношения системы. Коль скоро их целых два, выкинуть одно из них будет зело годно!

Давайте проверим!

Снова возведем в куб выражение с произведением, вычтем из нижнего - и вот уже выкинутое выражение с суммой кубов маячит для нас в скобке. Проблема только в том, можем ли мы с чистой совесть поделить обе части на "v^3"? Вдруг он может равняться 0?

Не может! Потому что все это время с нами незримо присутствовало условие на ненулевость "A" (из ненулевости "a"), а значит, и "v" не равно нулю (из первого), а значит, можно смело делить и получать выражение для кубов.

Т.е. таки показали эквивалентность систем.

Стираем, и переходим к самой мякотке.

Ну то есть как переходит. Явные формулы - это для сырен, а нам важна СУТЬ.

Поэтому просто запишем, что "v-куб" равняется одному из двух решений бикубического уравнения относительно этого самого "v-куба", обозначив решения соответствующего квадратного уравнения за "w" c плюсиком или минусиком.

А потом извлечем комплекснозначный корень из каждого из них. Тут и везде галка с цифрой 3 - это многозначный корень, то есть 3 разных комплексных числа. У Сырны то же самое означала однозначный вещественный кубический корень из действительного числа.

Теперь нам предстоит увлекательное приключение в мир комплексных корней, потому, во-первых, для всех "v" нам надо найти пару "u", а во-вторых разобраться, как из 6 решений "(u,v)" через "u+v=x" получается не более 3 решений исходного уравнения.

Но перед этим немного развлечемся и посмотрим, как у некоторых сырен иногда получается 9 (ДЕВЯТЬ!) решений.

Шутка тут даже в том, что 9 решений у них получается для исходного уравнения. Для системы решений у них получается 18 (ВОСЕМНАДЦАТЬ), просто в силу симметрии "x=u+v" относительно "u" и "v" при возврате к "х" симметричные решения системы попарно схлопываются и остается 9.

Разумеется, если бы эти сырны были АККУРАТНЫ, то и у системы решений было бы столько же, сколько и у нас.

Суечка скрыта вот тут (обведено красным).

Суть в том, что увидев такую лафу, сырны с диком ором: "ОЛОЛО ТИОРЕМА ВИЕТА!!" - кидаются, наплевав на эквивалентности, выписывать решения, которых получается 18. А решений исходного уравнения - 9.

И у этих сырен, нету, повторяю, НЕТУ иных легальных способов отсечь лишние корни, кроме подстановки всех 9 корней в исходное уравннение.

На прикрепленном изображении вы можете видеть пример такой сырны.

Сырна, конечно, не тупая, гений и член-корр. РАН, но записанное на доске равно ОДНОВРЕМЕННО не только корням решаемого уравнения, но и еще 6 значения, не являющимися корнями. И отличить одни от других без постановки невозможно.

И если кто-то понадеется, что на самом деле там получатся одинаковые корни, что-то с чем-то схлопнется и т.д. - не надейтесь, будет ровно 9 абсолютно различных значений ну ок, комплексные будут сопряженными

Таким сырнам хочется сказать:

Вы играетесь в математику! А те, кто к ней серьезно относятся с ума сходят, страдают!

Я не понимаю, ну как так? КАК ТАК-ТО? У уравнения ТРЕТЬЕЙ степени найти ДЕВЯТЬ корней и просто так оставить на доске?

ТЫ! Ты где корни-то такие взял?!! Такие...

>>5231839
КОМПЛЕКСНЫЕ!!!

Но где же зарыта собачка?
Где мы НЕ допустили ошибку как Сырна? Где та развилка, где мы еще могли ступить на скользкую дорожку 18 решений системы?

А вот где!

Если бы мы поддались тут превратной страсти к упрощению и выразили бы сначала "u-куб" из выражения для произведения кубов, то получили бы ту же саму подсистему с 18 решениями, что и у Сырны.

Заметьте, однако ж, что у нас, в отличие от Сырны созраняется эквивалентность, благодаря чему наши решения еще должны пройти проверку выражением для произведения. Там-то и улетят из каждой симметричной подсистемы по 6 решений, возникающих при возведении в куб, итого останется 18-12=6 решений.

Как видно, если аккуратно обращаться с эквивалентностями, это метод ничуть не хуже нашего. Но вернемся к нашему.

Тут начинается настоящая комплексная часть. С одной стороны, совершенно элементарная, с другой стороны, совершенно дремучая, если сырно о комплексных числах знает только то, что "и в квадрате равно минус один".

Другая сложность заключается в том, что чтобы разобраться, как из 6 решений системы получаются 3 решения исходного уравнения, нам придется разобраться, что конкретно у нас получаются за решения.

Просто отсидеться за безликими "w" не получится. Обычно на этом месте сырны, да и не только сырны, начинают рассматривать СЛУЧАИ, определяемые дискриминантом того бикубического уравнения, решения которого в явном виде нам было настолько лень расписывать.

Но, дай Б-г, и не придется. Нам понадобится совсем немножко знаний о полученных корнях, чтобы продвинуться вперед.

Итак, нам нужно взять многозначный корень третий степени из двух разных "w". Запишем эти корни взяв за "z" с плюсом и минусом произвольные корни, а остальные получим, домножая на первообразный корень третьей степени из 1, который мы обозначим как "альфа", потому что нам совсем неважно, чему он там равен.

К сожалению, с совсем произвольными корнями каши не сваришь. "z-плюс" мы, так и быть оставим произвольным, но вот среди корней из "w-минус" таки перевыберем корень (в конце концов мы его назовем "z'-минус").

Итак, мы хотим такой корень "z'-минус", чтобы... при умножении на наш "z-плюс" он давал A.

А среди трех корней из "w-минус" такой корень вообще есть?

А вот да, заведомо есть.

Вспомним, решением какого бикубического уравнения были наши "w". Вот такого. Тогда по пресловутому Виету есть "w-минус" умножить на "w-плюс" дает "A-куб".

Тогда рассмотрим произведения "z-плюс" на всех трех кандидатов на роль "z'-минус". Все эти произведения в кубе дают "А-куб", потому что "z"-ы - в кубе дают соответствующие "w"-ы, а первообразные корни ("альфы") дают 1.

"A" и все "z"-ы не равны нулю, так что это три произведения попарно различны.

Очень хорошо. А вот у уравнения "z^3=A^3" тоже как раз три различных решения. Эти решения, конечно, и есть наши произведения, но из уравнения видно, что одно из них - непременно А.

Так что да, таки непременно найдется среди корней из "w-минус" корень, который при умножении на "z-плюс" дает A.

Его и обозначим за "z'-минус"

Ну а теперь таки берем эти 6 значений "v" и находим им соответствующие значения "u".

Начиная с четвертой, пары начинают повторятся.
Немудрено, ведь "A/z-минус = z-плюс".

Решений у системы по-прежнему 6, но соответствующих им решений исходного уравнения - 3, из-за симметрии.

УРА?

Ну как "ура"...

Во-первых, как уже говорилось выше, полученные решения для "x" - решения исходного уравнения, но не факт, что все решения исходного уравнения - это то, что мы получили.

На самом деле факт, но тербующий проверки.

Если все эти значения "х" попарно различны, то точно нашли все, потому что у многочлена третьей степени не более 3 различных корней.

Вырожденных случаев вообще немного. Это когда дискриминант бикубического равен 0, поэтому "w"-ы одинаковые, поэтому и "z-плюс=z'-минус", и второе и третье решение совпадают и надо показать, что исходный многочлен раскладывается на соответствующие множители, но это не так трудно, как кажется.

А так-то да, УРА!

Но... у Сырны было красивенькое понятное решеньице в явном виде, пусть и для конкретного случая. В общем случае красивого решения нет. Во-первых, есть разбиралово вырожденных случаев, во-вторых, - вот эта вот кутерьма с кубичискими корнями.

Но все равно, Сырно - БАКА.

>>5231851
Не создавай такие треды.

>>5231851
А когда урок полового воспитана с наглядным примером?

>>5232218
Предлагаю в первую очередь разобрать преимущества современного ламината над другими половыми покрытиями.

>>5232218
И проводить его будет не Тохота а Тосака.

>>5232237
Она не умеет, у неё непонятно. А ещё слишком беззащитна, когда стоит спиной к аудитории.

>>5232214
Ты что, не Сырно, что ли?

>>5231817

Рейму тоже бака.
Когда мы к исходному уравнению добавляем тождество, мы вольны выбрать "t" вообще любым, в том числе, таким, чтобы обнулялась левая скобка. Можем? Можем, там многочлен второй степени, а "t" - комплексное. Вторая скобка, соответственно, тоже обнулится.

Поэтому там ЕСТЬ эквивалентность между системой и исходным уравнением, дополненным тождеством с "t", а вот как раз писать эквивалентность между исходным и системой с тождеством с "t" не корректно, тем более, что на том шуге мы не определились с тем, что это за "t".

Ну а раз у нас ЕСТЬ эквивалентность, то корни подставлять НЕ НАДО.

(там, где Рейму разбирает рассуждения Сырен с нарушением цепочки эквивалентностей и получением 9 корней - там, конечно надо корни подставлять)

Cirno meth class when?

>>5232577
Cirno Mech Class?

>>5232577