> Я правильно понимаю, что координаты могут быть не кривыми, а ортогональными, а "кривой" только интервал?

Неправильно понимаешь. Координаты вообще не нужны для объяснения и понимания СТО/ОТО, хотя с ними считать удобнее.

> Если мы возьмем метрику Шварцшильда и составим уравнения геодезической линии в координатах этой метрики, будут ли они описывать движение в обычном плоском пространстве со сферической СК?

Нет, не будут. Локально, т.е. в малой окресности данной точки, всегда можно обратить связность в нуль подходящей заменой координат и "спрямить" геодезическую, но в Шварцшильде пространство-время кривое и никакой заменой координат не удастся глобально обратить в нуль связность.

Короче, бери Тейлора-Уилера "Физика пространства-времени" и после него Мизнера-Торна-Уилера "Гравитация" (в 3 тт.) и изучай.