Есть такая игра на калькуляторе - берётся произвольное число (например, 2 – на самом деле, любое, кроме 0 и 1), от него берётся логарифм (натуральный). Если получилось отрицательное значение – меняем знак, если положительное – не меняем и в любом случае снова берём логарифм, и т.д. Нажимая две кнопки («Логарифм» и «Смена знака») попеременно пальцами двух рук – получаем игру на внимательность и реакцию.
Ясно, что получившийся числовой ряд не стремится к определённому значению, а представляет собой стохастический процесс. На который ещё и оказывает сильное влияние погрешность калькулятора, но даже если б мы имели абсолютно точный калькулятор – всё равно невозможно, не проделав весь путь, предсказать, каким будет 100-й или 1000-й член последовательности. Тем не менее, ясно, что значения от 0 до 10 встречаются намного чаще, чем от 10 до 20, тем более чем от 100 до 110.
Теперь переходим от одного отдельного значения ко всей числовой прямой, получаем функцию: y=ln|ln|ln|...|x|...||| итого n раз, n->бесконечности. Каков будет график этой функции? Верно ли считать этот график размытым по области значения в каждой точке, кроме счётного числа особых точек, в которых функция имеет разрыв (как, например, в 0, 1, e, 1/e и т.д.), притом, размытым с неравномерной плотностью?
Интересуюсь из праздного любопытства, но очень хочется. Наукач, помоги разобраться на доступном уровне. С меня лоли.
